第426章 四种途径
在“陈氏定理”上画了个圈。
陈舟在想,也许有一天,也许用不了多久。
“陈氏定理”会变成完整的哥德巴赫定理。
当然,从某种意义来说,哥德巴赫定理,也可以称之为“陈氏定理”。
至于这个“陈”,自然就是陈舟的陈了。
收回这个还算遥远的思绪,陈舟的注意力,再次集中到哥德巴赫猜想身上。
从以往的研究来看,对哥猜的研究途径,分为四种。
分别是殆素数、例外集合、小变量的三素数定理,以及几乎哥德巴赫问题。
殆素数就是素因子个数不多的正整数。
设N是偶数,虽然不能证明N是两个素数之和,但足以证明它能够写成,两个殆素数的和。
也就是A+B。
其中,A和B的素因子个数,都不太多。
也就是陈舟刚写下的,哥猜的命题。
而“a+b”命题的最新进展,便是陈老先生的“1+2”了。
至于,终极奥义的“1+1”,则遥遥无期。
在殆素数这一方向上的进展,都是用筛法所得到的。
可是,陈老先生把筛法用到极致,也只是停留在了“1+2”上面。
所以,很多数学家也认为,现在的研究,很难再突破陈老先生在筛法上面的运用。
这也是这一方向的研究,这么长时间停滞不前的最大原因。
在没有找到更合理,或者说能够进一步发挥筛法作用的工具之前。
“1+1”的证明,始终不会有较大的突破。
这一观点,陈舟也是认同的。
然而,一个被运用到极致的工具,想要再突破,谈何容易?
对于一个成熟的数学工具来说,新的数学思想的引入,也会变得更为困难。
但好在,陈舟在研究克拉梅尔猜想时,或多或少,或有意或无意的,就搞出来了分布结构法。
最初的分布结构法,就是糅合了筛法、圆法等等数学思想的一个工具。
所以,陈舟的想法里,他突破大筛法限制的关键点,就在分布结构法上面。
草稿纸上,陈舟把分布结构法,单独的写在了右边。
殆素数的方法,则是在左边。
而殆素数方法的下面,就是例外集合。
所谓的例外集合,指的就是在数轴上,取定大整数x。
再从x往前看,寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。
这些偶数,也就被称为例外偶数。
这一思路的关键就是,不管x多大,只要x之前,只有一个例外偶数。
而这个例外偶数就是2,也就是只有2使得猜想是错的。
而2,大家都懂的。
那么,就能说明这些例外偶数的密度是零。
也就证明了,哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。
这条思路的研究,在华国可能没有那么著名。
但是从世界上来看,维诺格拉多夫的三素数定理一发布,在例外集合这一途径上,就同时出现了四个证明。
其中,就包括华老先生的著名定理。
说来有趣的一件事是。
民科们,经常会有人宣称自己证明了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。
可实际上,他们就是“证明”了例外偶数是零密度。
至于这个结论嘛……
华老先生早在60年前,就已真正证明了出来。
所以说,有时候真不能听民科瞎咋呼。
就拿陈舟自己来说,他要是在乎民科们的声音。
那,塞满邮箱的那些民科们发来的邮件,就真的够他头大的了。
“如果偶数的哥德巴赫猜想正确,那么奇数的猜想也正确……”
陈舟在第三种研究途径“小变量的三素数定理”后面,开始边思考,边写下这条途径的研究思路。
【已知奇数N,可以表示成三个素数之和,假如又能证明这三个素数中,有一个非常小……】
在这条途径上,一直研究下去的人,也是华国著名的数学家潘老先生。
如果说第一个素数,可以总取3,那么也就证明了哥猜。
潘老先生就是沿着这个思想,从25岁时,开始研究有一个小素变数的三素数定理。
这个小素变数,不超过N的θ次方。
而研究目标,就是要证明θ可以取0。
也就是这个小素变数有界,从而推出偶数的哥德巴赫猜想。
潘老先生首先证明了θ可以取1/4。
可惜的是,后来在这方面的工作,一直没有进展。
直到上世纪90年代,展韬教授把潘老先生的定理,推到了7/200。
这个数,虽然算是比较小的了。
但它仍然大于0。
从上面三种途径的研究历程来看,华国数学家在这方面的贡献,可以说是功勋卓著。
只是,没有人能最终解决这个困扰数学家近三百年的难题罢了。
而且,因为这些数学家的研究,也才使得哥德巴赫猜想,在华国数学界,甚至是华国,有着非比寻常的意义。
陈舟在草稿纸上,边梳理研究思路,边写下自己的思考。
对于他的分布结构法,陈舟已经有了非同一般的想法。
这个糅合了许多数学思想的方法,也被陈舟寄予了更多的期待。
“小变量的三素数定理”这条途径,梳理完后,陈舟看了一眼草稿纸上的留白。
幸好先前的那条横线,他画的比较靠下。
这些被整理压缩的精华,才得以立足于这块白纸之上。
伸了个懒腰,陈舟看了眼时间,才晚上10点多而已。
既然时间还早,那就继续!
这样想着的陈舟,就开始了“几乎哥德巴赫问题”这一途径的梳理。
关于“几乎哥德巴赫问题”,是林尼克在1953年的一篇,长达70页的论文中,率先进行研究的。
林尼克证明了,存在一个固定的非负整数k,使得任何大偶数,都能写成两个素数与k个2的方幂之和。
有人说,这个定理,看起来像是丑化了哥德巴赫猜想。
但实际上,它是有着非常深刻意义的。
能够注意到的是,能写成k个2的方幂之和的整数,构成一个非常稀疏的集合。
也就是说,对任意取定的x,x前面的这种整数的个数,不会超过logx的k次方。
因此,林尼克定理指出,虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想,但是我们能在整数集合中,找到一个非常稀疏的子集。
每次从这个稀疏的子集里面,拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去,这个表达式就成立。
这里的k,是用来衡量几乎哥德巴赫问题,向哥德巴赫猜想的逼近程度的。
k的数值越小,就表示越逼近哥德巴赫猜想。
那么,显而易见的就是,k如果等于0。
几乎哥德巴赫问题中2的方幂,就不再出现。
从而,林尼克定理,也就变成了哥德巴赫猜想。
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陈舟在想,也许有一天,也许用不了多久。
“陈氏定理”会变成完整的哥德巴赫定理。
当然,从某种意义来说,哥德巴赫定理,也可以称之为“陈氏定理”。
至于这个“陈”,自然就是陈舟的陈了。
收回这个还算遥远的思绪,陈舟的注意力,再次集中到哥德巴赫猜想身上。
从以往的研究来看,对哥猜的研究途径,分为四种。
分别是殆素数、例外集合、小变量的三素数定理,以及几乎哥德巴赫问题。
殆素数就是素因子个数不多的正整数。
设N是偶数,虽然不能证明N是两个素数之和,但足以证明它能够写成,两个殆素数的和。
也就是A+B。
其中,A和B的素因子个数,都不太多。
也就是陈舟刚写下的,哥猜的命题。
而“a+b”命题的最新进展,便是陈老先生的“1+2”了。
至于,终极奥义的“1+1”,则遥遥无期。
在殆素数这一方向上的进展,都是用筛法所得到的。
可是,陈老先生把筛法用到极致,也只是停留在了“1+2”上面。
所以,很多数学家也认为,现在的研究,很难再突破陈老先生在筛法上面的运用。
这也是这一方向的研究,这么长时间停滞不前的最大原因。
在没有找到更合理,或者说能够进一步发挥筛法作用的工具之前。
“1+1”的证明,始终不会有较大的突破。
这一观点,陈舟也是认同的。
然而,一个被运用到极致的工具,想要再突破,谈何容易?
对于一个成熟的数学工具来说,新的数学思想的引入,也会变得更为困难。
但好在,陈舟在研究克拉梅尔猜想时,或多或少,或有意或无意的,就搞出来了分布结构法。
最初的分布结构法,就是糅合了筛法、圆法等等数学思想的一个工具。
所以,陈舟的想法里,他突破大筛法限制的关键点,就在分布结构法上面。
草稿纸上,陈舟把分布结构法,单独的写在了右边。
殆素数的方法,则是在左边。
而殆素数方法的下面,就是例外集合。
所谓的例外集合,指的就是在数轴上,取定大整数x。
再从x往前看,寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。
这些偶数,也就被称为例外偶数。
这一思路的关键就是,不管x多大,只要x之前,只有一个例外偶数。
而这个例外偶数就是2,也就是只有2使得猜想是错的。
而2,大家都懂的。
那么,就能说明这些例外偶数的密度是零。
也就证明了,哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。
这条思路的研究,在华国可能没有那么著名。
但是从世界上来看,维诺格拉多夫的三素数定理一发布,在例外集合这一途径上,就同时出现了四个证明。
其中,就包括华老先生的著名定理。
说来有趣的一件事是。
民科们,经常会有人宣称自己证明了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。
可实际上,他们就是“证明”了例外偶数是零密度。
至于这个结论嘛……
华老先生早在60年前,就已真正证明了出来。
所以说,有时候真不能听民科瞎咋呼。
就拿陈舟自己来说,他要是在乎民科们的声音。
那,塞满邮箱的那些民科们发来的邮件,就真的够他头大的了。
“如果偶数的哥德巴赫猜想正确,那么奇数的猜想也正确……”
陈舟在第三种研究途径“小变量的三素数定理”后面,开始边思考,边写下这条途径的研究思路。
【已知奇数N,可以表示成三个素数之和,假如又能证明这三个素数中,有一个非常小……】
在这条途径上,一直研究下去的人,也是华国著名的数学家潘老先生。
如果说第一个素数,可以总取3,那么也就证明了哥猜。
潘老先生就是沿着这个思想,从25岁时,开始研究有一个小素变数的三素数定理。
这个小素变数,不超过N的θ次方。
而研究目标,就是要证明θ可以取0。
也就是这个小素变数有界,从而推出偶数的哥德巴赫猜想。
潘老先生首先证明了θ可以取1/4。
可惜的是,后来在这方面的工作,一直没有进展。
直到上世纪90年代,展韬教授把潘老先生的定理,推到了7/200。
这个数,虽然算是比较小的了。
但它仍然大于0。
从上面三种途径的研究历程来看,华国数学家在这方面的贡献,可以说是功勋卓著。
只是,没有人能最终解决这个困扰数学家近三百年的难题罢了。
而且,因为这些数学家的研究,也才使得哥德巴赫猜想,在华国数学界,甚至是华国,有着非比寻常的意义。
陈舟在草稿纸上,边梳理研究思路,边写下自己的思考。
对于他的分布结构法,陈舟已经有了非同一般的想法。
这个糅合了许多数学思想的方法,也被陈舟寄予了更多的期待。
“小变量的三素数定理”这条途径,梳理完后,陈舟看了一眼草稿纸上的留白。
幸好先前的那条横线,他画的比较靠下。
这些被整理压缩的精华,才得以立足于这块白纸之上。
伸了个懒腰,陈舟看了眼时间,才晚上10点多而已。
既然时间还早,那就继续!
这样想着的陈舟,就开始了“几乎哥德巴赫问题”这一途径的梳理。
关于“几乎哥德巴赫问题”,是林尼克在1953年的一篇,长达70页的论文中,率先进行研究的。
林尼克证明了,存在一个固定的非负整数k,使得任何大偶数,都能写成两个素数与k个2的方幂之和。
有人说,这个定理,看起来像是丑化了哥德巴赫猜想。
但实际上,它是有着非常深刻意义的。
能够注意到的是,能写成k个2的方幂之和的整数,构成一个非常稀疏的集合。
也就是说,对任意取定的x,x前面的这种整数的个数,不会超过logx的k次方。
因此,林尼克定理指出,虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想,但是我们能在整数集合中,找到一个非常稀疏的子集。
每次从这个稀疏的子集里面,拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去,这个表达式就成立。
这里的k,是用来衡量几乎哥德巴赫问题,向哥德巴赫猜想的逼近程度的。
k的数值越小,就表示越逼近哥德巴赫猜想。
那么,显而易见的就是,k如果等于0。
几乎哥德巴赫问题中2的方幂,就不再出现。
从而,林尼克定理,也就变成了哥德巴赫猜想。
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